Depuis le début de l’histoire de l’humanité, les nombres premiers ont su éveiller la curiosité des hommes. De quoi s’agit-il ? Pourquoi les questions les concernant sont-elles si difficiles ? L’une des choses les plus intéressantes au sujet des nombres premiers, c’est leur répartition au sein des nombres entiers naturels. À petite échelle, la présence d’un nombre premier semble être aléatoire, mais à plus grande échelle, il semble y avoir un modèle, qui n’est pas encore complètement compris. Dans ce court article, nous allons essayer de suivre l’histoire des nombres premiers depuis les temps anciens et profiter de cette occasion pour nous plonger dans le monde des mathématiciens et essayer de mieux le comprendre.

Nombres composés et nombres premiers

Vous êtes-vous déja demandé pourquoi le jour est divisé en 24 h exactement et le cercle en 360 degrés ? Le nombre 24 possède une propriété intéressante : il peut être divisé en des parties entières égales de façons relativement nombreuses. Par exemple, 24÷2 = 12, 24÷3 = 8, 24÷4 = 6, et ainsi de suite (vous pouvez compléter les options restantes vous-même !). Cela signifie qu’une journée peut se diviser en deux parties égales de 12 h chacune, le jour et la nuit. Dans une usine qui travail sans arrêt en équipes de 8 h, chaque journée est divisée en exactement trois équipes.

C’est aussi la raison pour laquelle le cercle a été divisé en 360°. Si le cercle se trouve divisé en deux, trois, quatre, dix, douze ou trente parties égales, chaque partie contiendra un nombre entier de degrés ; et il existe trois manières supplémentaires de diviser un cercle que nous n’avons pas mentionnées. Dans les temps anciens, diviser un cercle en secteurs de tailles égales avec une grande précision était nécessaire à diverses fins artistiques, astronomiques et d’ingénierie. La boussole et le rapporteur étant alors les seuls instruments disponibles, la division d’un cercle en secteurs égaux présentait une grande valeur sur le plan pratique.¹

Un nombre entier pouvant s’écrire comme le produit de deux nombre plus petits s’appelle un nombre composé. Par exemple, les équations 24 = 4 × 6 et 33 = 3 × 11 montrent que 24 et 33 sont des nombres composés. Un nombre qui ne peut se décomposer de cette manière s’appelle un nombre premier. Les nombres

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, et 29

sont tous des nombres premiers. En fait, il s’agit là des 10 premiers nombres premiers (vous pouvez vérifier vous-même, si vous le désirez !).

Contempler cette courte liste de nombre premiers révèle déjà quelques observations intéressantes. Tout d’abord, à part le nombre 2, tous les nombres premiers sont impairs, car tout nombre pair est divisible par 2, ce qui en fait un nombre composé. Ainsi, la distance entre deux nombres premiers qui se suivent (appelés nombres premiers consécutifs) est au moins de 2. Dans notre liste, nous trouvons des nombres premiers consécutifs dont la différence est exactement de 2 (tels que les paires 3, 5 et 17, 19). Il existe également des intervalles plus importants entre des nombres premiers consécutifs, tels que l’écart de six unités entre 23 et 29, chacun des nombres 24, 25, 26, 27 et 28 étant un nombre composé. Une autre observation intéressante est que dans chacun des premier et second groupes de 10 nombres (c’est à dire 1-10 et 11–20), il y a quatre nombres premiers, mais que dans le troisième groupe de 10 (21–30), il n’y en a que deux. Qu’est-ce que cela signifie ? Est-ce que les nombres premiers se raréfient au fur et à mesure que les nombres augmentent ? Quelqu’un peut-il nous promettre que nous serons en mesure de continuer à trouver de plus en plus de nombres premiers de manière infinie ?

Si, à ce stade, il y a quelque chose qui vous passionne et que vous souhaitez continuer à creuser la liste des nombres premiers et les questions que nous avons soulevées, cela veut dire que vous avez l’esprit mathématique. Stop ! Ne continuez pas à lire !² Prenez un crayon et un bout de papier. Écrivez tous les nombres jusqu’à 100 et marquez ceux qui sont des nombres premiers. Vérifiez combien il y a de paires avec des écarts de deux. Vérifiez combien il y a de nombres premiers pour chaque groupe de 10. Parvenez-vous à identifier une tendance quelconque ? Ou est-ce que la liste des nombres premiers jusqu’à 100 vous semble aléatoire ?

Un peu d’histoire et le concept d’un théorème

Les nombres premiers ont occupé l’attention des hommes depuis les temps anciens et ont même été associés au surnaturel. Même aujourd’hui, à l’époque moderne, il y a des gens qui tentent d’attribuer aux nombres premiers des propriétés mystiques. L’astronome et auteur d’ouvrages scientifiques bien connu Carl Sagan a écrit en 1985 un livre intitulé ≪ Contact ≫, traitant d’extra-terrestres (une civilisation semblable à celle des hommes hors de la terre) essayant de communiquer avec les êtres humains en utilisant comme signaux des nombres premiers. L’idée que des signaux basés sur les nombres premiers puissent servir de base à une communication avec des cultures extra-terrestres continue d’enflammer l’imagination de beaucoup de gens aujourd’hui.

On suppose généralement que les nombres premiers ont commencé à susciter un intérêt sérieux à l’époque de Pythagore. Pythagore est un ancien mathématicien grec. Ses élèves, les pythagoriens – en partie des hommes de science et en partie des mystiques – vivaient au VI^e siècle av. J.-C. Ils n’ont pas laissé de preuve écrite et tout ce que nous savons d’eux provient de récits qui se sont transmis oralement. 300 ans plus tard, au III^e siècle av. J.-C., c’est Alexandrie qui était la capitale culturelle du monde grec. Euclide (Figure 1), qui habitait à Alexandrie à l’époque de Ptolémée I^er, vous est peut-être familier par le biais de la géométrie euclidienne, qui a été nommée en son honneur. La géométrie euclidienne a été enseignée dans les écoles pendant plus de 2 000 ans. Mais Euclide s’intéressait aussi aux nombres. Dans le neuvième livre de son œuvre ≪ Éléments ≫, dans sa proposition 20, apparait pour la première fois une démonstration mathématique du théorème selon lequel il y a un nombre infini de nombres premiers.

C’est le bon moment de placer quelques mots sur les concepts de théorème et de démonstration mathématique. Un théorème est une affirmation exprimée en langage mathématique et qui peut avec certitude être considérée comme valide ou non valide. Par exemple, le théorème ≪ il y a une infinité de nombres premiers ≫ affirme que dans le système des nombres entiers naturels (1,2,3...), la liste des nombres premiers est sans fin. Pour être plus précis, ce théorème affirme que si non écrivons une liste finie de nombres premiers, nous serons toujours capables de trouver un autre nombre premier qui ne figure pas sur la liste. Afin de prouver ce théorème, il ne suffit pas de considérer un nombre premier supplémentaire pour une liste donnée. Par exemple, si nous considérons 31 comme un nombre premier ne faisant pas partie de la liste des 10 nombres premiers mentionnés auparavant, il nous faudra bien sûr démontrer que cette liste ne comprenait pas tous les nombres premiers. Mais peut-être qu’en ajoutant 31, nous avons maintenant trouvé tous les nombres premiers, et qu’il n’ y en a pas d’autres ? Ce que nous devons faire, et ce qu’a fait Euclide il y a 2 300 ans, est de présenter un argument convaincant montrant pourquoi, pour toute liste finie, aussi longue qu’elle puisse l’être, nous pourrons toujours trouver un nombre premier qui ne figure pas dedans. Dans la section qui suit, nous allons présenter la démonstration d’Euclide, sans trop vous charger de détails.

La démonstration d’euclide concernant l’existence d’une infinité de nombres premiers

Afin de prouver qu’il y a un nombre infini de nombres premiers, Euclide s’est servi d’un autre théorème de base qu’il connaissait, qui est l’affirmation selon laquelle ≪ tout nombre entier naturel peut s’écrire comme le produit de nombres premiers ≫. Il est facile de se persuader de la justesse de cette dernière affirmation. Si vous prenez un nombre qui n’est pas composé, alors ce nombre est lui-même un nombre premier. Sans quoi, vous pouvez écrire le nombre que vous avez pris comme étant le produit de deux nombres pus petits. Si chacun des nombres plus petits est premier, vous avez exprimé votre nombre comme étant le produit de deux nombres premiers. Sinon, écrivez les nombres composés plus petits comme des produits de nombres encore plus petits, et ainsi de suite. Dans ce processus, vous continuez à remplacer tout nombre composé par des produits de nombres plus petits. Puisqu’il est impossible de faire ceci indéfiniment, ce processus doit prendre fin et tous les nombres inférieurs auxquels vous aboutissez ne peuvent plus être décomposés, ce qui veut dire que ce sont des nombres premiers. À titre d’exemple, décomposons le nombre 72 par ses facteurs premiers :

72 = 12 × 6 = 3 × 4 × 6 = 3 × 2 × 2 × 6 = 3 × 2 × 2 × 2 × 3.

Sur la base de ce fait fondamental, nous pouvons désormais expliquer l’élégante démonstration d’Euclide concernant l’infinité de l’ensemble des nombres premiers. Nous allons démontrer cette idée en faisant appel à la liste des 10 premiers nombres premiers tout en remarquant que la même idée fonctionne pour toute liste finie de nombres premiers. Multiplions tous les nombres de la liste et ajoutons un au résultat. Donnons le nom N au nombre que nous avons obtenu. (La valeur de N n’a en fait pas d’importance puisque cet argument devrait être valable pour n’importe quelle liste.)

N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29) +1.

Le nombre N, comme tout autre nombre entier naturel, peut s’écrire comme le produit de nombres entiers. Quels sont ces nombres premiers, les facteurs premiers de N ? Nous ne le savons pas, car nous ne les avons pas calculés, mais il y a une chose que nous savons assurément : ils divisent tous N. Mais le nombre N laisse un reste de un lorsqu’on le divise par n’importe lequel des nombres premiers de notre liste 2, 3, 5, 7, … , 23, 29. On suppose qu’il s’agit de la liste complète de nos nombres premiers, mais aucun d’entre eux ne divise N. Donc, les facteurs premiers de N ne sont pas sur cette liste et, en particulier, il doit y avoir de nouveaux nombres premiers au-delà de 29.

Le crible d’erastothène

Avez-vous trouvé tous les nombres premiers inférieurs à 100 ? Quelle méthode avez-vous utilisée ? Avez-vous vérifié chaque nombre individuellement, afin de voir s’il était divisible par des nombres inférieurs ? Si c’est la méthode que vous avez choisie, vous avez vraiment investi beaucoup de temps. Érastothène (Figure 1), l’un des plus grands savants de la période hellénique, a vécu quelques décennies après Euclide. Il a été directeur de la bibliothèque d’Alexandrie, la première bibliothèque de l’histoire et la plus importante de l’ancien monde. Il était intéressé non seulement par les mathématiques, mais aussi par l’astronomie, la musique, et la géographie, et il fut le premier à calculer la circonférence de la terre, avec une précision impressionnante pour l’époque. Entre autres choses, il a conçu une méthode intelligente pour trouver les nombres premiers jusqu’à un certain nombre. Comme cette méthode se base sur l’idée de passer au crible (tamiser) les nombres composés, elle s’appelle le crible d’Érastothène.

Nous allons faire la démonstration du crible d’Érastothène sur la liste des nombres inférieurs à 100 que, nous l’espérons, vous avez en face des yeux (Figure 2). Entourez le nombre 2, puisqu’il s’agit du premier des nombres premiers, et effacez ensuite tous ses multiples supérieurs, c’est à dire tous les nombres composés pairs. Avancez jusqu’au nombre suivant n’ayant pas été effacé, le nombre 3. Puisqu’il n’a pas été effacé, il ne s’agit pas du produit de nombres inférieurs, et nous pouvons l’entourer en sachant que c’est un nombre premier.

De nouveau, effacez tous ses multiples supérieurs. Remarquez que certains d’entre eux, tels que 6, ont déjà été effacés, tandis que d’autres, tels que 9, vont être effacés maintenant. Le nombre non effacé suivant – 5 – est à entourer. De nouveau, effacez tous ses multiples supérieurs : 10, 15 et 20 ont déjà été effacés, mais 25 et 35, par exemple, doivent être effacés maintenant. Continuez de la même manière. Jusqu’à quand ? Essayez de comprendre pourquoi après avoir passé 10 = nous n’avons pas besoin de continuer ce processus. Tous les nombres inférieurs à 100 qui n’ont pas été effacés sont des nombres premiers et peuvent en toute sécurité être entourés !

Fréquence des nombres premiers

Quelle est la fréquence des nombres premiers ? Combien de nombres premiers y a-t-il, approximativement, entre 1 000 000 et 1 001 000 (un million et un million mille) et combien entre 1 000 000 000 et 1 000 001 000 (un milliard et un milliard mille) ? Pouvons-nous estimer le nombre de nombre premiers entre un milliard (1 000 000 000 000) et un milliard mille (1 000 000 001 000) ?

Les calculs révèlent que les nombres premiers deviennent de plus en plus rares au fur et à mesure que les nombres deviennent plus importants. Mais est-il possible de formuler un théorème précis qui exprimera exactement à quel point ils sont rares ? Un tel théorème a été proposé pour la première fois sous forme de conjecture par le grand mathématicien Carl Friedrich Gauss en 1793 à l’âge de 16 ans. Le mathématicien du XIX^e Bernhard Riemann (Figure 1), qui a exercé une grande influence sur l’étude des nombres premiers à l’époque moderne, plus que quiconque, a développé d’autres outils qui sont nécessaires pour les manipuler. Mais ce n’est qu’en 1896 qu’une démonstration de ce théorème a été apportée, un siècle plus tard. De manière surprenante, deux démonstrations indépendantes ont été apportées la même année par le français Jacques Hadamard et par le belge de la Vallée-Poussin (Figure 1). Il est intéressant de remarquer que les deux hommes étaient nés à peu près à l’époque du décès de Riemann. Le théorème dont ils ont apporté la démonstration a reçu le nom de ≪ théorème des nombres premiers ≫ à cause de son importance.

La formulation précise du théorème des nombres premiers, et plus encore les détails de sa démonstration, exigent des connaissances mathématiques avancées ne pouvant être discutées ici. Mais, pour l’exprimer en termes plus accessibles, le théorème des nombres premiers affirme que la fréquence des nombres premiers autour de x est inversement proportionnelle au nombre de chiffres dans x. Dans l’exemple ci-dessus, le nombre de nombres premiers dans une ≪ fenêtre ≫ d’une longueur de 1 000 autour du million (s’entend, ici, l’intervalle entre un million et un million mille) sera 50 % plus grand que le nombre de nombres premiers dans la même ≪ fenêtre ≫ autour du milliard (le ratio est de 9 : 6, tout comme le ratio entre le nombre de zéros dans un milliard et dans un million), et environ deux fois plus que le nombre de nombres premiers dans la même fenêtre autour du milliard (où le ratio du nombre de zéros est de 12 : 6). En fait, des calculs par ordinateur montrent qu’il y a 75 nombres premiers dans la première fenêtre, 49 dans la seconde et seulement 37 dans la troisième, entre un milliard et un milliard mille.

Ces mêmes informations peuvent être représentées sous forme de graphique (Figure 3). Vous pouvez voir à quel point le nombre π(x) de nombres premiers jusqu’à x varie dans l’intervalle x ≤ 100 (Figure 3A) et de nouveau pour x ≤ 1 000 (Figure 3B). Remarquez que chaque fois que nous rencontrons un nouveau nombre premier le long de l’axe x, le graphique s’élève de 1, si bien que le graphique prend une forme en escaliers. (Figure 3A). À petite échelle, il est difficile de détecter une tendance sur le graphique. Il est très facile de prouver que nous pouvons trouver arbitrairement de grands intervalles dans lesquels il n’y aura aucun nombre premier, ce qui veut dire qu’il y a des endroits où le graphique ne progresse pas. D’un autre côté, une célèbre conjecture (voir ci-dessous) affirme qu’il y a une infinité de nombres premiers jumeaux, c’est à dire avec une différence de 2 unités entre eux, ce qui se traduirait par ≪ une marche ≫ d’une largeur de 2 sur le graphique. À plus grande échelle, cependant, le graphique a l’air très aplati (Figure 3B). Cette courbe plate vue à grande échelle illustre le théorème des nombres premiers.

Le fait qu’un phénomène mathématique semble se comporter de manière aléatoire à une certaine échelle mais affiche une certaine régularité (caractère lisse) qui se vérifie de plus en plus au fur et à mesure que l’échelle augmente, n’est pas une nouveauté en mathématiques. Les systèmes de probabilités, comme quand on joue à pile ou face, se comportent de la même manière. Il est impossible de prédire le résultat d’un seul lancer de pièce, mais, dans la durée, si la pièce n’est pas faussée, ce sera pile la moitié du temps. Ce qui est surprenant, c’est que le système des nombres premiers n’est pas un modèle probabiliste, mais il se comporte toutefois, à de nombreux égards, comme s’il s’agissait d’une sélection aléatoire.

Résumé : qui veut gagner des millions ?

La théorie des nombres, qui inclut l’étude des nombres premiers, est riche en problèmes non résolus, auxquels se confrontent sans succès les plus grands esprits depuis des centaines d’années. Quelques-uns de ces problèmes ouverts sont des affirmations mathématiques qui n’ont pu être prouvées jusqu’à présent, mais dont nous sommes intimement convaincus de la justesse. De tels théorèmes non démontrés s’appellent des ≪ conjectures ≫ ou des ≪ hypothèses ≫. Nous avons déjà mentionné la conjecture concernant l’infinité de nombres premiers jumeaux – des paires de nombres premiers dont l’écart entre eux est de deux. Une autre conjecture célèbre, appelée la conjecture de Goldbach, affirme que tout nombre pair peut s’écrire comme étant la somme de deux nombres premiers. Par exemple : 16 = 13 + 3, 54 = 47 + 7. Si vous arrivez à démontrer l’une d’entre elles, une gloire éternelle vous attend.³

L’hypothèse de Riemann, sans doute l’un des problèmes de mathématiques non résolus les plus célèbres, a été proposée par le même Bernhard Riemann que nous avons mentionné plus tôt. Dans l’unique étude de Riemann publiée au sujet des nombres premiers, parue en 1859, Riemann affirmait une hypothèse prédisant l’écart entre la valeur réelle de π(x), le nombre de nombres premiers jusqu’à x, et l’approximation donnée dans le théorème des nombres premiers (vu plus haut). En d’autres termes, que peut-on dire à propos du ≪ terme d’erreur ≫ dans le théorème des nombres premiers – la différence entre la quantité réelle et la formule suggérée ? La Fondation Clay a désigné ce problème comme étant l’un des sept problèmes pour lesquels elle offrirait un prix de 1 000 000 $, pour la solution ! Si vous n’étiez pas trop intrigué jusqu’ici, peut-être ce prix pourrait-il vous motiver...

Pourquoi est-ce important ? Qui s’y intéresse ? Les mathématiciens évaluent leurs problèmes d’abord et avant tout par leur difficulté et leur beauté intrinsèque. Les nombres premiers sont notés assez haut selon ces deux critères. Cependant, les nombres premiers sont également utiles sur le plan pratique. Les recherches sur les nombres premiers ont trouvé une application importante dans le domaine du chiffrement (la science d’encodage des messages) au cours des dernières décennies. Nous avons mentionné plus tôt le livre de fiction de Carl Sagan à propos d’une civilisation extra-terrestre communiquant avec l’humanité au moyen de nombres premiers. Mais il y a un domaine beaucoup plus ≪ brûlant ≫, qui n’a rien à voir avec de la fiction, qui se sert des nombres premiers dans des buts tant civils que militaires ; il s’agit des transmissions chiffrées. Lorsque nous retirons de l’argent d’un distributeur automatique de billets, nous utilisons une carte de paiement, et la communication entre nous et le DAB est chiffrée. Comme beaucoup de codes de chiffrement, celui trouvé sur presque toutes les cartes de paiement, appelé RSA (nommé d’après le nom de ses inventeurs – Rivest, Shamir et Adleman), est basé sur les propriétés des nombres premiers.

L’histoire des nombres premiers reste entourée de mystères. Et vous pouvez voir que leur histoire est loin d’être terminée...

Glossaire

Nombre composé: ↑ Un nombre entier qui peut s’écrire comme étant le produit de deux autres nombres plus petits par exemple : 24 = 3 × 8

Nombre premier (non composé): ↑ Un nombre entier qui ne peut pas s’écrire comme le produit de deux autres nombres plus petits, comme par exemple 7 ou 23.

Démonstration mathématique: ↑ Suite d’arguments logiques destinés à apporter la preuve de la véracité d’un théorème mathématique. La démonstration se base sur des suppositions fondamentales qui ont été éprouvées, ou sur d’autres théorèmes qui ont été prouvés précédemment.

Théorème mathématique: ↑ Une affirmation exprimée dans le langage des mathématiques dont on peut déterminer la validité ou l’invalidité dans un système donné.

Conjecture mathématique: ↑ (également appelée hypothèse) - une affirmation mathématique que l’on pense être vraie mais qui n’ a pas encore été prouvée. La ≪ conviction de validité ≫ peut résulter de la vérification de certains cas spéciaux, d’une évidence de calcul, ou d’une intuition mathématique. Il existe certaines conjectures mathématiques sur lesquelles les gens ne sont toujours pas d’accord.

Nombres premiers jumeaux: ↑ Une paire de nombres premiers avec une différence de 2 unités, telle que 5, 7 ou 41, 43.

Conflit d’intérêts

Les auteurs déclarent que les travaux de recherche ont été menés en l’absence de toute relation commerciale ou financière pouvant être interprétée comme un potentiel conflit d’intérêts.

Déclaration d’utilisation des outils d’IA

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